Question

6．已知圆C经过点A（-$\sqrt{3}$，0），圆心落在x轴上（圆心与坐标原点不重合），且与直线l₁：x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0 相切．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线Y=X被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）l₂是与l₁垂直并且在Y轴上的截距为b的直线，若l₂与圆C有两个不同的交点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆C：（x-a）²+y²=r²（a≠0），利用圆C与直线l：x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0相切，结合圆C经过点A（-$\sqrt{3}$，0），求出a，r，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求出圆心C（-4$\sqrt{3}$，0）到直线y=x的距离，即可求直线Y=X被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）利用直线l₂与圆C有两个不同的交点，可得圆心到l₂的距离小于半径3$\sqrt{3}$，即可求b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设圆C：（x-a）²+y²=r²（a≠0）
∵圆C与直线l：x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0 相切
∴$\frac{|a-2\sqrt{3}|}{2}$=r （1）
∵圆C经过点A（-$\sqrt{3}$，0）
∴（-$\sqrt{3}$-a）²=r²（2）
（1）（2）得：a²+4$\sqrt{3}$a=0
∵a≠0∴a=-4$\sqrt{3}$，r=3$\sqrt{3}$
∴圆C的标准方程（x+4$\sqrt{3}$）²+y²=27；
（Ⅱ）圆心C（-4$\sqrt{3}$，0）到直线y=x的距离d=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{6}$．
根据半弦半径，弦心距之间勾股定理得半弦m=$\sqrt{3}$，
∴直线Y=X被圆C截得的弦长为2$\sqrt{3}$；
（Ⅲ）易知直线l₂ 的方程为y=$\sqrt{3}$x+b．                                
∵直线l₂与圆C有两个不同的交点，∴圆心到l₂的距离小于半径3$\sqrt{3}$．
∴$\frac{|\sqrt{3}×（-4\sqrt{3}）+b|}{\sqrt{1+3}}$$＜3\sqrt{3}$．                   
解得b的取值范围为12-6$\sqrt{3}$＜b＜12+6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．