题目内容

11.定义在R上的偶函数f(x)满足:f(0)=5,x>0时,f(x)=x+$\frac{4}{x}$.
(1)求当x≤0时.f(x)的解析式;
(2)请写出函数f(x)的单调区间(不需证明);
(3)当x∈[-1,t]时,函数f(x)的取值范围是[5,+∞),求实数t的取值范围.

分析 (1)根据条件,可设x<0,-x>0,从而带入x>0的解析式便可得到f(-x)=$-x-\frac{4}{x}$=f(x),再由f(0)=5便可写出x≤0时的f(x)解析式;
(2)可描点画出f(x)的图象,根据图象即可得出f(x)的单调区间;
(3)先求出f(-1)=f(1)=5,根据f(x)在(-2,0)和(0,2)的单调性及f(0)=5即可得出t需满足0≤t≤1,这样便得出了实数t的取值范围.

解答 解:(1)由f(x)为偶函数,设x<0,则-x>0;
∴f(-x)=$-x-\frac{4}{x}=f(x)$;
又f(0)=5;
∴x≤0时的f(x)的解析式为:$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{5}&{x=0}\\{-x-\frac{4}{x}}&{x<0}\end{array}\right.$;
(2)f(x)的单调增区间为:(-2,0),(2,+∞),单调递减区间为:(-∞,-2),(0,2);
(3)x=-1时,f(x)=5,x从左边趋向0时,f(x)趋向正无穷;
又f(0)=5,f(x)在(0,2)上递减,f(1)=5;
又x∈[-1,t]时,f(x)的值域为[5,+∞);
∴0≤t≤1;
∴实数t的取值范围为:[0,1].

点评 考查偶函数的定义,根据函数奇偶性求函数在对称区间上解析式的方法和过程,根据函数图象判断函数单调性的方法,根据函数单调性,由值域求定义域的方法.

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