题目内容

9.设l1,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线.给出下列三个结论:
①存在Ai∈li(i=1,2,3),使得△A1A2A3是直角三角形;
②存在Ai∈li(i=1,2,3),使得△A1A2A3是等边三角形;
③三条直线上存在四点Ai(i=1,2,3,4),使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中,所有正确结论的个数是(  )
A.0B.1C.2D.3

分析 本题利用画图结合运动变化的思想进行分析.我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置,容易看出此时 BC<AB=AC.
现在,我们将 A 和 B 往上移,并且总保持 AB=AC(这是可以做到的,只要 A、B 的速度满足一定关系),而当A、B 移得很高很高时,就得到①和②都是正确的.至于③,结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可

解答 解:我们不妨先将 A、B、C按如图所示放置.
容易看出此时 BC<AB=AC.
现在,我们将 A 和 B 往上移,
并且总保持AB=AC(这是可以做到的,
只要 A、B 的速度满足一定关系),
而当A、B 移得很高很高时,
不难想象△ABC 将会变得很扁,
也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形.
于是,在移动过程中,
总有一刻,使△ABC 成为等边三角形,
亦总有另一刻,使△ABC成为直角三角形(而且还是等腰的).
这样,就得到①和②都是正确的.
至于③,如图所示.
为方便书写,称三条两两垂直的棱所共的顶点为?.
假设A是?,
那么由 AD⊥AB,AD⊥AC,
知 L3⊥△ABC,
从而△ABC 三边的长就是三条直线的距离4、5、6,
这就与AB⊥AC 矛盾.
同理可知D是?时也矛盾;
假设C是?,
那么由BC⊥CA,BC⊥CD,
知BC⊥△CAD,
而 l1∥△CAD,故 BC⊥l1
从而 BC 为 l1与 l2 的距离,
于是 EF∥BC,EF=BC,这样就得到 EF⊥FG,矛盾.
同理可知 B 是?时也矛盾.
综上,不存在四点Ai(i=1,2,3,4),
使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
故选:C.

点评 本题考查命题真假的判断解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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