题目内容
已知函数,.
(1)若,求证:当时,;
(2)若在区间上单调递增,试求的取值范围;
(3)求证:.
(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
解析试题分析:(1)将代入函数解析式,利用导数函数在区间上的单调性,进而由单调性证明;(2)解法一是“将函数在区间上单调递增”转化为“不等式在区间上恒成立”,然后利用参数分离法等价转化为“不等式在区间上恒成立”,最终转化为;解法二是先将问题转化为在区间上恒成立,对参数进行分类讨论,围绕,从而对参数进行求解;(3)先将不等式等价转化证明,在(2)中,令得到,然后在(2)中得到,两边取对数得到,在令,得到,再结合放缩法得到,需注意第一个不等式不用放缩法,即,利用累加法便可得到,从而证明相应的不等式.
试题解析:(1),则,,
在上单调递增,,
故函数在上单调递增,所以;
(2)解法一:,下求使恒成立的的取值范围.
当时,由,得在上恒成立,
令,则有,则,令,解得,
列表如下: