Question

【题目】如图，设是椭圆的左焦点，点是轴上的一点，点为椭圆的左、右顶点，已知，且

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作直线交椭圆于两点，试判定直线的斜率之和是否为定值，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）由2a＝8，﹣a＝2（a﹣c），即可求得c的值，则b2＝a2﹣c2，即可求得椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，kAF＝kBF＝0，当直线l的斜率不为0，将直线方程代入椭圆方程由韦达定理及直线的斜率公式即可求得kAF+kBF＝0为定值，

(1)因为，所以

又因为所以，即

所以，所以

所以椭圆的标准方程为

(2)当直线的斜率为0时，显然；

当直线的斜率不为0时，可设AB方程为代入椭圆方程整理得：

，得或

设

则

而

综上可知