题目内容

【题目】如图,设是椭圆的左焦点,点轴上的一点,点为椭圆的左、右顶点,已知,且

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点作直线交椭圆于两点,试判定直线的斜率之和是否为定值,并说明理由.

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

(1)由2a=8,a=2(ac),即可求得c的值,则b2a2c2,即可求得椭圆方程;(2)当直线斜率不存在时,kAFkBF=0,当直线l的斜率不为0,将直线方程代入椭圆方程由韦达定理及直线的斜率公式即可求得kAF+kBF=0为定值,

(1)因为,所以

又因为所以,即

所以,所以

所以椭圆的标准方程为

(2)当直线的斜率为0时,显然

当直线的斜率不为0时,可设AB方程为代入椭圆方程整理得:

,得

综上可知

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