题目内容
【题目】设函数f(x)=x2﹣ax+b.
(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|2<x<3},求不等式bx2﹣ax+1>0的解集;
(2)当b=3﹣a时,对任意的x∈(﹣1,0]都有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵不等式x2﹣ax+b<0的解集是{x|2<x<3},
∴x=2,x=3是方程x2﹣ax+b=0的解,
由韦达定理得:a=5,b=6,
故不等式bx2﹣ax+1>0为6x2﹣5x+1>0,
解不等式6x2﹣5x+1>0,
得其解集为{x|x< 或x>
}
(2)解:据题意x∈(﹣1,0],f(x)=x2﹣ax+3﹣a≥0恒成立,
则可转化为a≤ ,
设t=x+1,则t∈(0,1],
=
=t+
﹣2关于t递减,
所以 =1+4﹣2=3,
∴a≤3
【解析】(1)根据二次函数的性质求出a,b的值,解不等式求出其解集即可;(2)问题转化为a≤ ,设t=x+1,则t∈(0,1],从而求出a的范围即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识,掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,以及对二次函数的性质的理解,了解当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
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