题目内容
已知.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若 求函数的单调区间;
(3)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若 求函数的单调区间;
(3)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
见解析
(1) ∵ ∴∴ ∴ , 又,所以切点坐标为
∴ 所求切线方程为,即.
(2)
由 得 或
(1)当时,由, 得.
由, 得或
此时的单调递减区间为,单调递增区间为和.
(2)当时,由,得.
由,得或
此时的单调递减区间为,单调递增区间为和.
综上:
当时,的单调递减区间为,
单调递增区间为和
当时,的单调递减区间为
单调递增区间为和.
(3)依题意,不等式恒成立, 等价于
在上恒成立
可得在上恒成立 设, 则 令,得(舍)当时,;当时,
当变化时,变化情况如下表:
∴ 当时,取得最大值, =-2
∴ 的取值范围是.
∴ 所求切线方程为,即.
(2)
由 得 或
(1)当时,由, 得.
由, 得或
此时的单调递减区间为,单调递增区间为和.
(2)当时,由,得.
由,得或
此时的单调递减区间为,单调递增区间为和.
综上:
当时,的单调递减区间为,
单调递增区间为和
当时,的单调递减区间为
单调递增区间为和.
(3)依题意,不等式恒成立, 等价于
在上恒成立
可得在上恒成立 设, 则 令,得(舍)当时,;当时,
当变化时,变化情况如下表:
+ | - | ||
单调递增 | -2 | 单调递减 |
∴ 当时,取得最大值, =-2
∴ 的取值范围是.
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