Question

16．函数f（x）=3+$\frac{sinx}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的最大值为M，最小值为m，则M+m=6．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{sinx}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，由奇偶性的定义可得g（x）为奇函数，设g（x）的最大值为t，最小值即为-t，则f（x）的最大值为M=3+t，最小值为m=3-t，可得M+m=6．

解答 解：函数f（x）=3+$\frac{sinx}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，
令g（x）=$\frac{sinx}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，即有g（-x）=$\frac{sin（-x）}{（-x）^{4}+（-x）^{2}+1}$
=-$\frac{sinx}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=-g（x），
即g（x）为奇函数，
设g（x）的最大值为t，最小值即为-t，
则f（x）的最大值为M=3+t，最小值为m=3-t，
即有M+m=6．
故答案为：6．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．