题目内容
某公司有价值a万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足:
①y与2a-x和x-a的乘积成正比;②
;③y>0.
(I)设y=f(x),求f(x)表达式,并求y=f(x)的定义域;
(II)求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入.
解:(I)设y=k(2a-x)(x-a),
因为当
,所以k=4
所以y=4(2a-x)(x-a)
因为4(2a-x)(x-a)>0,所以a<x<2a
所以定义域为(a,2a);
(II)
=-4(x+
)+12a≤-4•2
+12a=
当且仅当x=
,即x=
a时,每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大.
分析:(I)设y=k(2a-x)(x-a),利用当
,可求k=4,从而可得函数表达式,即可求得y=f(x)的定义域;
(II)确定每万元技术改造投入函数解析式,利用基本不等式,即可求得结论.
点评:本题考查函数解析式的确定,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
因为当
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所以y=4(2a-x)(x-a)
因为4(2a-x)(x-a)>0,所以a<x<2a
所以定义域为(a,2a);
(II)
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当且仅当x=
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分析:(I)设y=k(2a-x)(x-a),利用当
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(II)确定每万元技术改造投入函数解析式,利用基本不等式,即可求得结论.
点评:本题考查函数解析式的确定,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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