题目内容

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②x=
3a2
时，y=a2；③y＞0．
（I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
（II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．
分析：（I）设y=k（2a-x）（x-a），利用当x=
3a
2
时，y=a2，可求k=4，从而可得函数表达式，即可求得y=f（x）的定义域；
（II）确定每万元技术改造投入函数解析式，利用基本不等式，即可求得结论．
解答：解：（I）设y=k（2a-x）（x-a），
因为当x=
3a
2
时，y=a2，所以k=4
所以y=4（2a-x）（x-a）
因为4（2a-x）（x-a）＞0，所以a＜x＜2a
所以定义域为（a，2a）；
（II）
y
x
=-4（x+
2a2
x
）+12a≤-4•2
x•
2a2
x
+12a=(12-8
2
)a
当且仅当x=
2a2
x
，即x=
2
a时，每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大．
点评：本题考查函数解析式的确定，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a-x和x的乘积成正比；②x=
a
2
时y=a2；
③0≤
x
2(a-x)
≤t其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．
某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产的附加值．改造需要投入，假设附加值y（万元）与技术改造投入x（万元）之间的关系满足：①y与（a-x）和x2的乘积成正比；②当x=
a
2
时，y=a3；③0≤
x
2(a-x)
≤t，其中常数t∈（0，2]．
（1）设y=f（x），求函数f（x）的解析式与定义域；
（2）求出附加值y的最大值，并求此时的技术改造投入x．
某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②；③y＞0．
（I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
（II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．
某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a-x和x的乘积成正比；②y=a2；
③其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

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