Question

某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a-x和x的乘积成正比；②x=

a

2

时y=a²；
③0≤

x

2(a-x)

≤t其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）的表达式好列，再求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．
（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．

解答：解：（1）设y=k(a-x)x，当x=

a

2

时y=a2，可得k=4，∴y=4（a-x）x∴定义域为[0，

2at

1+2t

]，t为常数，t∈[0，1]
（2）y=4(a-x)x=-4(x-

a

2

)2+a2
当

2at

1+2t

≥

a

2

时，即

1

2

≤t≤1，x=

a

2

时，ymax=a2
当

2at

1+2t

＜

a

2

时，即0≤t＜

1

2

时，y=4（a-x）在[0，

2at

1+2t

]上为增函数，
则当x=

2at

1+2t

时，ymax=

8at2

(1+2t)2

从而当

1

2

≤t≤1时，投入x=

a

2

时，售价y最大为a²万元；
当0≤t＜

1

2

时，投入x=

2at

1+2t

时，售价y最大为

8at2

(1+2t)2

万元．

点评：本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．