某公司有价值a万元的一条流水线.要提高该流水线的生产能力.就要对其进行技术改造.从而提高产的附加值．改造需要投入.假设附加值y与技术改造投入x之间的关系满足:①y与(a-x)和x2的乘积成正比,②当x=a2时.y=a3,③0≤x2(a-x)≤t.其中常数t∈(0.2]．的解析式与定义域,(2)求出附加值y的最大值.并求此时的技术改造投入x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产的附加值．改造需要投入，假设附加值y（万元）与技术改造投入x（万元）之间的关系满足：①y与（a-x）和x²的乘积成正比；②当x=

时，y=a³；③0≤

2(a-x)

≤t，其中常数t∈（0，2]．
（1）设y=f（x），求函数f（x）的解析式与定义域；
（2）求出附加值y的最大值，并求此时的技术改造投入x．

分析：（1）设y=k（a-x）•x²，利用当x=

时，y=a³；求出k=8，从而可得函数表达式，即可求得y=f（x）的定义域；
（2）利用函数单调性与导数关系，进行求最值．

解答：解：（1）设y=k（a-x）•x²，
∵当x=

时，y=a³；
∴k=8，
∴y=8（a-x）•x²，
∵y＞0，∴0＜x＜a，又由0≤

2(a-x)

≤t，得x≤

2at

1+2t

=a•

1+2t

＜a．
所以定义域为（0，

2at

1+2t

]；
（2）y=8（a-x）•x²=-8x³+8ax²，
y′=-16x²+16ax．=-16x（x-a）
在（0，

2at

1+2t

]上，
y′＞0，f（x）单调递增，当x=

2at

1+2t

时，y的最大值为f（

2at

1+2t

）=

32a3t2

(1+2t)3

点评：本题考查函数解析式的确定，考查导数的工具作用，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

≤t其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②x=

时，y=a2；③y＞0．
（I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
（II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②

；③y＞0．
（I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
（II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．

某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a-x和x的乘积成正比；②

y=a²；
③

其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

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