Question

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②；③y＞0．
（I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
（II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．

Answer 1

【答案】分析：（I）设y=k（2a-x）（x-a），利用当，可求k=4，从而可得函数表达式，即可求得y=f（x）的定义域；
（II）确定每万元技术改造投入函数解析式，利用基本不等式，即可求得结论．
解答：解：（I）设y=k（2a-x）（x-a），
因为当，所以k=4
所以y=4（2a-x）（x-a）
因为4（2a-x）（x-a）＞0，所以a＜x＜2a
所以定义域为（a，2a）；
（II）=-4（x+）+12a≤-4•2+12a=
当且仅当x=，即x=a时，每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大．
点评：本题考查函数解析式的确定，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．