Question

18．定义平面向量的一种运算$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|×sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，其中＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，给出下列命题：①若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=90°，则$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²；②若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊙（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；③若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$≤2|$\overrightarrow{a}$|²；④若$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，2），则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊙$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{10}$．其中真命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 根据已知中的新定义，$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|×sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，其中＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，逐一判断四个命题的真假可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|×sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，其中＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，
若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=90°，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
则$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²，故正确；
②则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊙（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2|$\overrightarrow{a}$|×2|$\overrightarrow{b}$|=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，故正确；
③若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|═$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²=2|$\overrightarrow{a}$|²，故正确；
④若$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，2），则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1，4），2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（0，6），
cos＜$\overrightarrow{a}$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{12}{\sqrt{5}•6}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故sin＜$\overrightarrow{a}$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊙$\overrightarrow{b}$=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{a}$|×sin＜$\overrightarrow{a}$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$＞=6×$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=6≠$\sqrt{10}$，故错误；
故真命题的序号为：①②③
故答案为：①②③

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了平面向量的夹角和模，难度为中档．