Question

7．已知a≠0，且a为常数，函数f（x）=$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{x}$的定义域为[m，n]（n＞m＞0）时，值域恒是[m，n]，求a的范围．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{x}$+x在（0，+∞）上有两个不同的解，从而解得．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{x}$的定义域为[m，n]（n＞m＞0）时，值域恒是[m，n]；
∴方程f（x）=$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{x}$=x在（0，+∞）上有两个不同的解，
即$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{x}$+x在（0，+∞）上有两个不同的解，
故$\frac{1}{a}$＞2，
故0$＜a＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的值域的求法及函数与方程的关系应用．