Question

【题目】已知函数 （a＜0）． （Ⅰ）当a=﹣3时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a=﹣3，∴ ，

故 ，

令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜﹣2或x＞0，

即所求的单调递减区间为（﹣3，﹣2）和（0，+∞）；

（Ⅱ）∵ （x＞a），

令f′（x）=0，得x=0或x=a+1，

当a+1＞0，即﹣1＜a＜0时，

f（x）在（a，0）和（a+1，+∞）上为减函数，在（0，a+1）上为增函数，

由于f（0）=aln（﹣a）＞0，当x→a时，f（x）→+∞，

当x→+∞时，f（x）→﹣∞，于是可得函数f（x）图象的草图如图：

此时函数f（x）有且仅有一个零点．

即当﹣1＜a＜0对，f（x）有且仅有一个零点；

当a=﹣1时， ，

∵ ，∴f（x）在（a，+∞）单调递减，

又当x→﹣1时，f（x）→+∞．当x→+∞时，f（x）→﹣∞，

故函数f（x）有且仅有一个零点；

当a+1＜0即a＜﹣1时，

f（x）在（a，a+1）和（0，+∞）上为减函数，在（a+1，0）上为增函数，

又f（0）=aln（﹣a）＜0，当x→a时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，

于是可得函数f（x）图象的草图如图：

此时函数f（x）有且仅有一个零点；

综上所述，所求的范围是a＜0．

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的图象求出a的具体范围即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．