题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.
(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH//平面PAD;
(2)求证:⊥平面PCD;
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)要证明线面平行,转化为证明线线平行,连结,由题意得,利用中位线证明;
(2)要证明线面垂直,根据判断定理可知需垂直于平面内的两条直线,利用面面垂直的性质定理,取棱中点,连结,再证明;
(3)连结,由平面,知是直线与平面所成角,由此能求出直线与平面所成角的正弦值.
(1)连结,由题意得,,
又由,得,
平面,平面,
平面.
(2)取棱中点,连结,
依题意得,
又平面平面,平面平面,
平面,
又平面,,
又,,
平面.
(3)连结,由(2)中平面,
知是直线与平面所成角,
是等边三角形,,且为中点,
,又,
在中,.
直线与平面所成角的正弦值为.
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