题目内容

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCDPACDCD=2AD=3.

1)设GH分别为PBAC的中点,求证:GH//平面PAD

2)求证:⊥平面PCD

3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3

【解析】

1)要证明线面平行,转化为证明线线平行,连结,由题意得,利用中位线证明

2)要证明线面垂直,根据判断定理可知需垂直于平面内的两条直线,利用面面垂直的性质定理,取棱中点,连结,再证明;

3)连结,由平面,知是直线与平面所成角,由此能求出直线与平面所成角的正弦值.

1)连结,由题意得

又由,得

平面平面

平面

2)取棱中点,连结

依题意得

平面平面,平面平面

平面

平面

平面

3)连结,由(2)中平面

是直线与平面所成角,

是等边三角形,,且中点,

,又

中,

直线与平面所成角的正弦值为

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