题目内容
【题目】已知函数,其中
、
是非空数集,且
,设
,
;
(1)若,
,求
;
(2)是否存在实数,使得
,且
?若存在,请求出满足条件的实数
;若不存在,请说明理由;
(3)若,且
,
,
是单调递增函数,求集合
、
;
【答案】(1) ;(2)
;(3)
,其中
或者
,其中
或者
或者
【解析】
(1)根据,
分别代入对应的分段区间求解集合的范围再求并集即可.
(2)先假设推出矛盾,故可得
.代入可得
,再分析当
时与题设矛盾可得
.
(3)先根据函数的单调性确定,
,再证明在
上存在分界点的话,这个分界点应该满足的性质,最后根据此性质写出满足题意的集合即可.
(1)因为,所以
,
因为,所以
.
故.
(2)若,则
,不符合要求.
所以,所以
,因为
,所以
,解得
.
若则
.
因为,所以
的原象
且
所以,得
,与前提矛盾.
故
(3)因为是单调递增函数,所以对任意的
有
,所以
所以,同理可证
.若存在
,使得
,
则,于是
,
记,
所以,同理可知
…
由,得
,
所以.
所以,故
,
即,此时
.
对于任意,取
中的自然数
,
则.所以
.
综上所述,满足要求的必有如下表示:
,其中
或者
,其中
或者
或者
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