Question

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=x，b=2，B=45°，如果解三角形有且只有一个解，则x的取值范围是（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 由B的度数求出sinB的值，再由b的值，利用正弦定理得出a与sinA的关系式，同时由B的度数求出A+C的度数，再根据三角形只有一解，可得A只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到A的范围，且当A为直角时，也满足题意，进而由A的范围，求出正弦函数的值域，根据a与sinA的关系式，由正弦函数的值域即可可得出a的范围．

解答 解：∵B=45°，b=2，
根据正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=2$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$sinA，
又A+C=180°-45°=135°，且三角形只一解，可得A有一个值，
∴0＜A≤45°，
又A=90°时，三角形也只有一解，
∴0＜sinA≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或sinA=1，
又a=2$\sqrt{2}$sinA，
∴a的取值范围为（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．
故答案为：（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．

点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，正弦函数的图象与性质，正弦函数的定义域和值域，以及特殊角的三角函数值，考查了学生综合分析问题及基本运算的能力，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．