题目内容
17.设F1,F2为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,|PF1|<|PF2|.求:(1)|PF1|的值;
(2)△F1PF2的面积.
分析 (1)设|PF1|=x,|PF2|=y,0<x<y;根据双曲线的定义与性质,列出方程组,求出x、y的值;
(2)由(1)得|PF1|与|PF2|的值,即可求出Rt△F1PF2的面积.
解答 解:(1)设|PF1|=x,|PF2|=y,且0<x<y;
根据双曲线的定义知,x-y=-4①,
又∠F1PF2=90°,
∴x2+y2=4c2=4×(4+4)②;
由①②组成方程组,解得
x=2$\sqrt{3}$-2,y=2$\sqrt{3}$+2,
即|PF1|=x=2$\sqrt{3}$-2,
|PF2|=y=2$\sqrt{3}$+2;
(2)∵|PF1|=2$\sqrt{3}$-2,|PF2|=2$\sqrt{3}$+2;
∴△F1PF2的面积为
S=$\frac{1}{2}$|PF1|•|PF2|=$\frac{1}{2}$×(2$\sqrt{3}$-2)(2$\sqrt{3}$+2)=4.
点评 本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题,也考查了解方程组与求三角形面积的应用问题,是中档题目.
练习册系列答案
相关题目
7.曲线C以双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦点F为焦点,曲线C上的点到焦点F的距离与到直线x=-2的距离相等,则曲线C上的任意一点P到y轴的距离与到直线x-y+4=0的距离和的最小值为( )
A. | 3$\sqrt{2}$ | B. | 3$\sqrt{2}$-1 | C. | 3$\sqrt{2}$+2 | D. | 3$\sqrt{2}$-2 |
12.四面体ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角等于( )
A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |
6.下列说法中,正确的是( )
A. | 命题“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题 | |
B. | 命题“存在x∈R,x2-x>0”的否定是:“任意x∈R,x2-x≤0” | |
C. | 命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 | |
D. | 已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 |
7.定积分${∫}_{1}^{e}$($\frac{1}{x}$+2)dx的值为( )
A. | 2e+1 | B. | 2e-1 | C. | e-2 | D. | 2e-2 |