Question

8．若正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧面与底面所成的二面角为60°，求正三棱锥的高和体积．

Answer 1

分析 作PO⊥面ABC，交面ABC于点O，连结AO并延长，交BC于D，连结PD，由已知得∠PDO=60°，先求出底面正三角形的面积，再求出OD，从而能求出正三棱锥的高和体积．

解答 解：由已知得底面△ABC是边长为2的等边三角形，
作PO⊥面ABC，交面ABC于点O，连结AO并延长，交BC于D，连结PD，
由正三棱锥的性质得AD⊥BC，由三垂线定理得PD⊥BC，
∵侧面与底面所成的二面角为60°，∴∠PDO=60°，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
OD=$\frac{1}{3}AD$=$\frac{1}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴正三棱锥的高PO=OD•tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$=1，
∴正三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查正三棱锥的高和体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三垂线定理、正三棱锥的性质的合理运用．