题目内容

如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设登陆点在D处，从A到C所用的时间为y（单位：h）．
（1）按下列要求建立函数关系：①设∠BAD=θ（rad），将y表示为θ的函数；②设BD=x（km），将y表示为x的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系，确定登陆点D的位置，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．

解：（1）①在Rt△ABD中，AB=50km，∴ $\text{[math]}$ ，∴DC=100-BD=100-50tanθ．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …（4分）

②在Rt△ABD中， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．…．（8分）
注：定义域不写或写错扣（1分）
（2）① $\text{[math]}$ ，…．（10分）
当 $\text{[math]}$ 时，y'＜0，∴函数y在 $\text{[math]}$ 单调递减；
当 $\text{[math]}$ 时，y'＞0，
∴函数y在（0，α）单调递增…．（12分）
∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ …．（13分）
此时 $\text{[math]}$ ．…．（14分）
答：当 $\text{[math]}$ 时，从A到C所用时间最少为 $\text{[math]}$ ．…．（15分）
② $\text{[math]}$ ．…．（10分）
当 $\text{[math]}$ 时，y'＜0，∴函数y在 $\text{[math]}$ 单调递减；
当 $\text{[math]}$ 时，函数在 $\text{[math]}$ 单调递增…．（12分）
∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．…（14分）
答：当 $\text{[math]}$ 时，从A到C所用时间最少为 $\text{[math]}$ …．（15分）
分析：（1）①用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；
②设BD=x（km），可用公股定理求出AD，再由BC=100，用x表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于x函数即可；
（2）选①，对函数进行求导研究函数的单调性，借助三角函数的性质可得出当当 $\text{[math]}$ 时，用时最少，代入函数关系式求出最值即可．
选②对函数求导，研究出函数的单调性确定出当 $\text{[math]}$ 时，用时最少，求出 $\text{[math]}$ 时的函数值即可，
点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，应用三角函数模型求解用时最少的问题，求解本题的关键是对问题进行细致分析得出符合条件的函数模型，本题在求最值时用到了导数研究单调性，用导数研究函数的单调性是一个非常方便的工具，遇到判断函数的单调性的问题时不妨优先考虑一下用导数．本题符号较多，运算较繁，极易出错，做题时要认真严谨．