题目内容
【题目】如图1，矩形
中， 
，将
沿
折起，得到如图
所示的四棱锥
，其中
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）
的中点
，连接
， 
.易知， 
，又求得
， 
，所以
，得
所以
平面
，平面
平面
.
（2）建立空间直角坐标系，求得平面
的法向量
.平面
的法向量
，所以求得二面角的余弦值为
。
试题解析：
（1）在图2中取
的中点
，连接
， 
.由条件可知图1中四边形
为正方形，则有
，且可求得
.
在
中， 
， 
， 
，由余弦定理得
.
在
中， 
，所以
，即
.
由于
， 
平面
， 
且
， 
，所以
平面
.
又
平面
，故平面
平面
.
（2）如图，以
为坐标原点，以平行于
的方向为
轴，平行于
的方向为
轴，建立空间直角坐标系.由题设条件，可得
， 
， 
， 
.
由（1）得
平面
，可求得
点坐标为
，
所以
， 
，设平面
的法向量为
，由
及
得
令
，由此可得
.
由于
， 
，设平面
的法向量为
，由
及
得
令
，由此可得
所以
则平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
名校课堂系列答案【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：
（1）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（2）根据表中数据，在调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
年级名次 | 1～50 | 951～1000 |
近视 | 41 | 32 |
不近视 | 9 | 18 |
附：P（K2≥3.841=0.05）K2= 
．
