题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
和
,点
在椭圆上,且
的面积为
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过该椭圆的左顶点作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点
的两点
、
,证明:动直线
恒过
轴上一定点.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】分析:(1)由三角形的面积可得.结合椭圆的定义可得
,则
.
.所求方程为
.
(2)假设结论成立,定点坐标设为,显然
.当直线
的斜率不存在时,直线
的斜率为
,
的方程为
,与椭圆方程联立可得
,直线
与
轴相交于点
.当直线
的斜率存在时,设
的方程为
,与椭圆方程联立有
,
,则
,据此可得
或
,则直线
恒过点
.详解:(1)∵点
在椭圆上,且
的面积为
,
∴,即
.
∴两个焦点坐标分别为、
.
∴,即:
.
∴.
∴所求方程为.
(2)假设结论成立,定点坐标设为,显然
.
当直线的斜率不存在时,
轴,此时直线
的斜率为
,
∴的方程为
,代入
化简得:
,
∴或
,即此时直线
与
轴相交于点
.
当直线的斜率存在时,设为
,依题意,
.
则的方程为
,
代入并化简得:
,
设、
,
∴,
.
又,
∴
∴,解之得
或
,
即直线恒过点
.
综上所述,直线恒过定点
.
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