题目内容
【题目】如图,为等腰直角三角形,
,D为AC上一点,将
沿BD折起,得到三棱锥
,且使得
在底面BCD的投影E在线段BC上,连接AE.
(1)证明:;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由折叠过程知与平面
垂直,得
,再取
中点
,可证
与平面
垂直,得
,从而可得线面垂直,再得线线垂直;
(2)由已知得为
中点,以
为原点,
所在直线为
轴,在平面
内过
作
的垂线为
轴建立空间直角坐标系,由已知求出线段长,得出各点坐标,用平面的法向量计算二面角的余弦.
(1)易知与平面
垂直,∴
,
连接,取
中点
,连接
,
由得
,
,
∴平面
,
平面
,∴
,
又,∴
平面
,∴
;
(2)由,知
是
中点,
令,则
,
由,
,
∴,解得
,故
.
以为原点,
所在直线为
轴,在平面
内过
作
的垂线为
轴建立空间直角坐标系,如图,
则,
,
,设平面
的法向量为
,
则,取
,则
.
又易知平面的一个法向量为
,
.
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】共享单车的投放,方便了市民短途出行,被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度,随机调查了100位成人市民,统计数据如下:
不小于40岁 | 小于40岁 | 合计 | |
单车用户 | 12 | 18 | 30 |
非单车用户 | 38 | 32 | 70 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
(1)从独立性检验角度分析,能否有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关;
(2)将此样本的频率做为概率,从该市单车用户中随机抽取3人,记不小于40岁的单车用户的人数为,求
的分布列与数学期望.
下面临界值表供参考:
P( | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)