题目内容

【题目】已知函数

1)当时,求曲线在点处的切线方程;

2)若在定义域内为单调函数,求实数的取值范围.

【答案】(1)(2).

【解析】

1)对函数求导,解得函数在点处切线的斜率,根据点斜式即可求得切线方程;

2)构造函数,利用导数求解其值域,再根据之间的关系,求解恒成立问题即可得参数的范围.

1)当时,,故

故可得

故切线方程为:,整理得.

故曲线在点处的切线方程为.

2)因为,故可得.

在定义域内为单调函数,则恒成立,或恒成立.

构造函数,故可得

,解得

在区间上单调递增,在区间上单调递减.

,且当趋近于0时,趋近于0.

.

若要保证在定义域内恒成立,即恒成立,

在定义域内恒成立,则只需

若要保证在定义域内恒成立,则恒成立,

在定义域内恒成立,但没有最小值,故舍去.

综上所述,要保证在定义域内为单调函数,

.

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