题目内容
【题目】已知函数(
)
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若在定义域内为单调函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)对函数求导,解得函数在点处切线的斜率,根据点斜式即可求得切线方程;
(2)构造函数,利用导数求解其值域,再根据
与
之间的关系,求解恒成立问题即可得参数的范围.
(1)当时,
,故
;
故可得,
故切线方程为:,整理得
.
故曲线在点
处的切线方程为
.
(2)因为,故可得
.
若在定义域内为单调函数,则
恒成立,或
恒成立.
构造函数,故可得
,
令,解得
,
故在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
故,且当
趋近于0时,
趋近于0.
故.
若要保证在定义域内恒成立,即
恒成立,
即在定义域内恒成立,则只需
;
若要保证在定义域内恒成立,则
恒成立,
则在定义域内恒成立,但
没有最小值,故舍去.
综上所述,要保证在定义域内为单调函数,
则.
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