题目内容
7.已知函数f(x)=$\frac{1}{2}$x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(1)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;
(2)当a=3时,求函数h(x)的单调区间及极值.
分析 (1)由f(x)=$\frac{1}{2}$x2-3x+(a-1)lnx,知f′(x)=x+$\frac{a-1}{x}$-3,x>0,由此能求出导函数f′(x)的最小值.
(2)当a=3时,h(x)=$\frac{1}{2}$x2-3x+2lnx,h′(x)=$\frac{(x-1)(x-2)}{x}$,由此列表讨论能求出函数h(x)的单调区间及极值.
解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{1}{2}$x2-3x+(a-1)lnx,
∴f′(x)=x+$\frac{a-1}{x}$-3,x>0,
∵a>1,∴a-1>0,
又∵x>0,∴x+$\frac{a-1}{x}$-3≥2$\sqrt{a-1}$-3,
当且仅当x=$\sqrt{a-1}$时,取等号,其最小值为2$\sqrt{a-1}$-3.
(2)当a=3时,h(x)=$\frac{1}{2}$x2-3x+2lnx,h′(x)=$\frac{(x-1)(x-2)}{x}$,
x,h′(x),h(x)的变化如下表:
x | (0,1) | 1 | (1,2) | 2 | (2,+∞) |
h′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
h(x) | ↑ | -2.5 | ↓ | 2ln2-4 | ↑ |
∴函数h(x)在x=1处取得极大值-2.5,在x=2处取得极小值2ln2-4.
点评 本题考查函数的最小值的求法,考查函数的单调区间和极值,考查学生分析解决问题的能力,正确求出导数是关键.
练习册系列答案
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