Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面APC，AB=2 ，AP=PC=CB=2．

（1）求证：AP⊥平面PBC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC⊥平面APC，AC、AP平面APC，

∴BC⊥AP，BC⊥AC，

∵AB=2 ，CB=2，∴AC=2 ，

又∵AP=PC=2，∴AC2=PA2+PC2，故AP⊥PC，

∵PC∩BC=C，∴AP⊥平面PBC；

（2）解：∵BC⊥平面APC，∴平面APC⊥平面ABC，

在平面APC内作PQ⊥AC于Q，则PQ⊥平面ABC，

过Q作QR⊥AB于R，连结PR，则∠PRQ即为二面角P﹣AB﹣C的平面角，

在RT△APC中，PQ= ，

在RT△ABC中，QR= ，

故 ，

从而二面角P﹣AB﹣C的大小为 ．

【解析】（1）通过已知条件，可得AC2=PA2+PC2 ， 进而可得AP⊥平面PBC；（2）在平面APC内作PQ⊥AC于Q、过Q作QR⊥AB于R，连结PR，则∠PRQ即为二面角P﹣AB﹣C的平面角，计算即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．