题目内容
【题目】如图,正三角形ABC的边长为2,D、E、F分别在三边AB,BC和CA上,且D为AB的中点,∠EDF=90°,∠BDE=θ(0°<θ<90°).
(1)当tan∠DEF= 时,求θ的大小;
(2)求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.
【答案】
(1)解:在△BDE中,由正弦定理 =
得:DE=
=
,
在△ADF中,由正弦定理 =
得:DF=
=
,
∵tan∠DEF= ,
∴ =
,整理得:tanθ=
,
则θ=60°
(2)解:S= DEDF=
=
=
=
,
当θ=45°时,S取最小值 =
【解析】(1)在△BDE中,BD=1,B=60°,∠BED=120°﹣θ,利用正弦定理表示出DE,在△ADF中,利用正弦定理表示出DF,根据tan∠DEF的值,列表关系式,整理求出tanθ的值,即可确定出θ的大小;(2)根据两直角边乘积的一半表示出三角形DEF面积S,利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用同角三角间基本关系变形,由正弦函数的值域即可确定出S的最小值以及使得S取最小值时θ的值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:),还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:
;
;
)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1) 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率;
(2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg | 箱产量≥50kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3) 根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行较。
附:
P( | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |