题目内容

【题目】如图,正三角形ABC的边长为2,D、E、F分别在三边AB,BC和CA上,且D为AB的中点,∠EDF=90°,∠BDE=θ(0°<θ<90°).
(1)当tan∠DEF= 时,求θ的大小;
(2)求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.

【答案】
(1)解:在△BDE中,由正弦定理 = 得:DE= =

在△ADF中,由正弦定理 = 得:DF= =

∵tan∠DEF=

= ,整理得:tanθ=

则θ=60°


(2)解:S= DEDF= = = =

当θ=45°时,S取最小值 =


【解析】(1)在△BDE中,BD=1,B=60°,∠BED=120°﹣θ,利用正弦定理表示出DE,在△ADF中,利用正弦定理表示出DF,根据tan∠DEF的值,列表关系式,整理求出tanθ的值,即可确定出θ的大小;(2)根据两直角边乘积的一半表示出三角形DEF面积S,利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用同角三角间基本关系变形,由正弦函数的值域即可确定出S的最小值以及使得S取最小值时θ的值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:),还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键.

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