题目内容
【题目】已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)若函数在
上有且仅有一个零点,
①求证:此零点是的极值点;
②求证:.
(本题可能会用到的数据:)
【答案】(1)见解析;(2)①证明见解析;②证明见解析.
【解析】
(1)求出,由
,得
,对参数
分类讨论,当
时,
恒成立,求出单调区间;当
,令
,求出方程的根,即可求得结论;
(2)①求出,可判断
在
单调递增,根据零点存在性定理可得,
,使得
,结合
的单调性,可得
,
时,
,
在
单调递减,
单调递增,
在
上有且仅有一个零点,此零点为极小值点
;
②由①得,
,且
,整理得
,且
,
为函数
的零点,通过求导判断
的单调性,结合零点存在性定理,可求
,根据
在
单调递增,即可求出结论.
(1)∵,
∵,∴
,∴
时,
恒成立,
所以在
单调递增,没有单调递减区间.
时,设
,则对称轴
,
,
解不等式可得:
,或
,
所以此时的单调递增区间为
和
.
单调递减区间是,
综上:时,单调递增区间是
,没有单调递减区间:
时,单调递增区间为
和
,
单调递减区间是;
(2)①∵,
∴在
单调递增,又因为
,
∴,使得
,且
时,
时,
,
∴在
单调递减,
单调递增,
∵在
上有且仅有一个零点,
∴此零点为极小值点;
②由①得,即
,
解得:,且
,
设,
,
∵,
则在
单调递减,
因为,
,∴
,
又因为在
单调递增,
,
,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目