题目内容
【题目】已知函数
.
（1）①求证：当
任意取值时，
的图像始终经过一个定点，并求出该定点坐标；
②若的图像在该定点处取得极值，求的值；
（2）求证：当
时，函数有唯一零点.
【答案】（1）①见解析，定点的坐标为
；②
（2）见解析
【解析】
（1）①由
可得
，所以
的图象始终经过一个定点；②对函数求导，利用函数在此定点处有极值，导函数值等于零列方程求解即可；
（2）可知已经有零点1，只需要证明函数再无其它零点即可，当
时，
，在时无零点；当
，且
时，
，所以
，在时也无零点.
（1）①由可得，，
所以的图像始终经过一个定点的坐标为；
②因为
，
因为的图像在该定点处取得极值，所以
，所以，
当时，
，满足：在
左右侧
异号，
所以符合题意；
（2）因为，所以已经有一个零点1，
下面只需要证明函数在无其它零点了.
因为且时，，
所以在时无零点，
因为
，
当，且时，，所以
，
所以在时递增，所以当时
，
所以在时也无零点，
所以时，有唯一零点1.
【题目】2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：
所用的时间（单位：小时） |
|
|
|
|
路线1的频数 | 200 | 400 | 200 | 200 |
路线2的频数 | 100 | 400 | 400 | 100 |
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发（将频率视为概率）.为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线.
（1）汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.
（2）若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元，且每车医用物资生产成本为40万元（其他费用忽略不计），以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分.根据这两辆车到达时间分别计分，具体规则如下（已知两辆车到达时间相互独立，互不影响）：
到达时间与约定时间的差x（单位：小时） |
|
|
|
该车得分 | 0 | 1 | 2 |
生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，若汽车A、B用（1）中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y（万元），求随机变量Y的期望值，（援助总额
一次性费用
生产成本现金捐款总额）
