题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求使方程存在两个实数解时,
的取值范围;
(2)设,函数
,
.若对任意
,总存在
,使得
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出导函数,可得函数在区间
上单调递增,在
上单调递减,求得
,
,
,利用
可得结果;(2)由(1)知
,设
的值域为
,因为对任意
,总存在
,使得
,等价于
.利用导数研究函数的单调性,求出
的值域
,根据包含关系列不等式求解即可,
(1).
令,得
;令
,得
,
所以函数在区间
上单调递增,在
上单调递减,
所以,又
,
,
要使方程存在两个实数解,则
,
解得.
(2)由(1)知,设
的值域为
,因为对任意
,总存在
,使得
,所以
.
因为,所以
,
当时,
在
上恒成立,所以
在
上单调递减,
又,不可能满足
.
当时,由于
,
若,即
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
,又
,
,要使
,则必须有
,化简得
,解得
,又
,所以
.
若,即
,
在
上单调递减,不可能满足
.
综上,实数的取值范围为
.
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