题目内容

14.已知f(x)=-4cos2 x+4$\sqrt{3}$sinxcosx+5,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时的x的值的集合.

分析 (1)由三角函数中的恒等变换应用可得解析式f(x)=4sin(2x-$\frac{π}{6}$)+3,利用三角函数的周期性及其求法即可解得f(x)的最小正周期.
(2)由sin(2x-$\frac{π}{6}$)=1,可求2x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z,解得x=k$π+\frac{π}{3}$,k∈Z,从而得解.

解答 解:(1)∵f(x)=-4cos2 x+4$\sqrt{3}$sinxcosx+5
=-4×$\frac{1+cos2x}{2}+2\sqrt{3}sin2x+5$
=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x+3
=4sin(2x-$\frac{π}{6}$)+3
∴f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$.
(2)当sin(2x-$\frac{π}{6}$)=1时,即2x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z时,即x=k$π+\frac{π}{3}$,k∈Z时,f(x)取最大值7,
此时x的值的集合为:{x|x=k$π+\frac{π}{3}$,k∈Z}.

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象和性质,属于基础题.

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