题目内容
9.已知$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}$=1(a>0,b>0),直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1与x轴、y轴分别交于点A、B,则|AB|的最小值为3.分析 由题意求出A、B的坐标,由两点之间的距离公式求出|AB|2,利用“1”的代换和基本不等式求出|AB|2的范围,即可求出|AB|的最小值.
解答 解:由题意得,A(a,0)、B(0,b),
则|AB|2=(a-0)2+(0-b)2=a2+b2,
∵$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}$=1(a>0,b>0),
∴a2+b2=(a2+b2)($\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$)
=5+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$≥5+2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}}$=9,当且仅当$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$时取等号,
∴|AB|2≥9,即|AB|≥3,则|AB|的最小值是3,
故答案为:3.
点评 本题考查基本不等式,两点之间的距离公式的应用,以及“1”的代换,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | x甲>x乙,乙比甲成绩稳定 | B. | x甲>x乙,甲比乙成绩稳定 | ||
C. | x甲<x乙,乙比甲成绩稳定 | D. | x甲<x乙,甲比乙成绩稳定 |
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A. | $\frac{5π}{6}$ | B. | $\frac{2π}{3}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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