题目内容

9.已知$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}$=1(a>0,b>0),直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1与x轴、y轴分别交于点A、B,则|AB|的最小值为3.

分析 由题意求出A、B的坐标,由两点之间的距离公式求出|AB|2,利用“1”的代换和基本不等式求出|AB|2的范围,即可求出|AB|的最小值.

解答 解:由题意得,A(a,0)、B(0,b),
则|AB|2=(a-0)2+(0-b)2=a2+b2
∵$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}$=1(a>0,b>0),
∴a2+b2=(a2+b2)($\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$)
=5+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$≥5+2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}}$=9,当且仅当$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$时取等号,
∴|AB|2≥9,即|AB|≥3,则|AB|的最小值是3,
故答案为:3.

点评 本题考查基本不等式,两点之间的距离公式的应用,以及“1”的代换,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网