题目内容
【题目】设点是
轴上的一个定点,其横坐标为
(
),已知当
时,动圆
过点
且与直线
相切,记动圆
的圆心
的轨迹为
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)当时,若直线
与曲线
相切于点
(
),且
与以定点
为圆心的动圆
也相切,当动圆
的面积最小时,证明:
、
两点的横坐标之差为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由切线的性质知点到点
的距离与到直线
的距离相等,即点
的轨迹为以点
为焦点,直线
为准线的抛物线,由此可得方程;
(Ⅱ)设出直线方程为,与抛物线方程联立方程组,利用相切(判别式为0)可得斜率
,点
到此直线的距离就是圆的半径,变形为用基本不等式求出它的最小值,而最小值时恰好有
,结论得证.
试题解析:
(Ⅰ)因为圆与直线
相切,所以点
到直线
的距离等于圆
的半径,
所以,点到点
的距离与到直线
的距离相等.
所以,点的轨迹为以点
为焦点,直线
为准线的抛物线,
所以圆心的轨迹方程,即曲线
的方程为
.
(Ⅱ)由题意,直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
由得
,
又,所以
,
因为直线与曲线
相切,所以
,解得
.
所以,直线的方程为
.
动圆的半径即为点
到直线
的距离
.
当动圆的面积最小时,即
最小,而当
时;
.
当且仅当,即
时取等号,
所以当动圆的面积最小时,
,
即当动圆的面积最小时,
、
两点的横坐标之差为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目