题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥中,四边形
为矩形,
为等腰三角形,
,平面
平面
,且
,
,
分别为
的中点.
(1)证明: 平面
;
(2)证明:平面平面
;
(3)求四棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)EF∥平面PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行,连AC,根据中位线可知EF∥PA,EF平面PAD,PA平面PAD,满足定理所需条件;
(2平面PAD⊥平面ABCD,根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD垂直,根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD,又CD平面ABCD,满足定理所需条件;
(3)过P作PO⊥AD于O,从而PO⊥平面ABCD,即为四棱锥的高,最后根据棱锥的体积公式求出所求即可.
解:(1)如图所示,
连接. ∵四边形
为矩形,且
为
的中点,
∴也是
的中点. 又
是
的中点,
,
∵平面
,
平面
.
平面
(2) 证明:∵平面平面
,
,平面
平面
,
∴平面
. ∵
平面
,∴平面
平面
.
(3)取的中点
,连接
. ∵平面
平面
,
为等腰三角形,
∴平面
,即
为四棱锥
的高. ∵
,∴
. 又
,
∴四棱锥的体积
.
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