Question

15．已知A（a，b），B（a′，b′）是圆x²+y²=2上任意的两点，若aa′+bb′=-1，则线段AB的长为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设A（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），B（$\sqrt{2}$cosβ，$\sqrt{2}$sinβ），则aa'+bb'=2cos（α-β）=-1，可设α-β=$\frac{2π}{3}$，结合参数α，β的几何意义得，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，利用余弦定理求出线段AB的长．

解答 解：设A（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），B（$\sqrt{2}$cosβ，$\sqrt{2}$sinβ），
则aa'+bb'=2cos（α-β）=-1，可设α-β=$\frac{2π}{3}$，
再结合参数α，β的几何意义得，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
因此，|AB|=$\sqrt{2+2-2×\sqrt{2}×\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查参数方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．