Question

【题目】某同学在研究函数f（x）= （x∈R）时，分别给出下面几个结论：
①f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；
③若x1≠x2 ， 则一定有f（x1）≠f（x2）；
④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：① ∴正确
②当x＞0时，f（x）= ∈（0，1）
由①知当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0）
x=0时，f（x）=0
∴f（x）∈（﹣1，1）正确；
③则当x＞0时，f（x）= 反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确
④由③知f（x）的图象与y=x只有（0，0）这一个交点．不正确．
所以答案是：①②③
【考点精析】通过灵活运用函数的值域和函数的奇偶性，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．