Question

【题目】在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求点A到平面A1DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A1DE；
（3）求二面角E﹣A1D﹣A的平面角大小的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（1）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），
∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）
设平面A1DE的法向量是=（a，b，c）
则，∴=（﹣2，1，2）
∴点A到平面A1DE的距离是d==；
（2）证明：∵=（0，﹣2，1），
∴=﹣2+2=0，∴⊥，
∴CF∥平面A1DE；
（3）解：∵平面A1DA的法向量为=（0，2，0），平面A1DE的法向量是=（﹣2，1，2）
∴cos＜,＞===．

【解析】（1）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的点到平面的距离公式即可求得点A到平面A1DE的距离；
（2）确定=﹣2+2=0，可得⊥ ， 从而可得CF∥平面A1DE；
（3）确定平面A1DA的法向量、平面A1DE的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．