Question

6．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（Ⅰ）当θ=$\frac{2π}{3}$ 时，求点P距地面的高度PQ；
（Ⅱ）设y=tan∠MPN，写出用θ表示y的函数关系式，并求y的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得PQ=50-50cosθ，由三角函数的知识可得；
（Ⅱ）由题意可得tan∠NPQ和tan∠MPQ，由两角差的正切可得y=tan（∠NPQ-∠MPQ）=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$．令g（θ ）=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$，θ∈（0，π），用导数法可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得PQ=50-50cosθ．
∴当θ=$\frac{2π}{3}$ 时，PQ=50-50cos$\frac{2π}{3}$=75，
即点P距地面的高度为75m；
（Ⅱ）由题意可得AQ=50sinθ，
∴MQ=60-50sinθ，NQ=300-50sinθ．
又PQ=50-50cosθ，
∴tan∠NPQ=$\frac{NQ}{PQ}$=$\frac{6-sinθ}{1-cosθ}$，tan∠MPQ=$\frac{MQ}{PQ}$=$\frac{6-5sinθ}{5-5cosθ}$．
∴y=tan∠MPN=tan（∠NPQ-∠MPQ）
=$\frac{tan∠NPQ-tan∠MPQ}{1+tan∠NPQ?tan∠MPQ}$=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$．
令g（θ ）=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$，θ∈（0，π），
则g′（θ）=$\frac{12×18（sinθ+cosθ-1）}{（23-18sinθ-5cosθ）2}$
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ-1=0，解得θ=$\frac{π}{2}$．
当θ∈（0，$\frac{π}{2}$）时，g′（θ ）＞0，g（θ ）为增函数；
当θ∈（$\frac{π}{2}$，π）时，g′（θ ）＜0，g（θ ）为减函数，
∴当θ=$\frac{π}{2}$时，g（θ ）有极大值，也为最大值．
即当θ=$\frac{π}{2}$时，y取得最大值．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数公式和导数法求函数的最值，属中档题．