在直角坐标系中.以原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$.直线l与曲线C分别交于M.N两点．(1)写出曲线C和直线l的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

分析（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．
（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．

解答解：（1）曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），
转化成直角坐标方程为：y²=2ax

线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
转化成直角坐标方程为：x-y-2=0．
（2）将直线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入y²=2ax得到：
$\frac{1}{2}{t}^{2}-（4\sqrt{2}+\sqrt{2}a）t+16+4a=0$，
所以：${t}_{1}+{t}_{2}=8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a$，t₁t₂=32+8a，①
则：|PM|=t₁，|PN|=t₂，|MN|=|t₁-t₂|
|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
所以：$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}=|{t}_{1}{t}_{2}|$，②
由①②得：a=1．