题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,设
.
(1)若,记数列
的前
项和为
.①求证:数列
为等差数列;②若不等式
对任意的
都成立,求实数
的最小值;
(2)若,且
,是否存在正整数
,使得无穷数列
,
,
,…成公差不为0的等差数列?若存在,给出数列
的一个通项公式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)不存在;详见解析
【解析】
(1)①,
,两式相减化简得
,所以数列
为等差数列;②先利用错位相减求出
,由不等式
对任意的
都成立得到
对任意
恒成立,求出
的最大值得解;(2)由题得当
,
时
,
.假设存在
,
,
,
,…成等差数列,公差为
,则
,再对
分两种情况讨论得解.
(1)①因为,
,(i)
所以.(ii)
将(i)(ii),得
,即
.(iii)
所以,当,
时,
,(iv)
将(iii)(iv)得,
当,
时,
,
整理得,,即
,
所以数列为等差数列.
②因为,令
,2,得
,
解得,
,
结合①可知,,故
.
所以,
,
两式相减,
得,
所以.
依题意,不等式对任意的
都成立,
即对任意
恒成立,
所以对任意
恒成立.
令,
则,
所以当,2时,
,即
,
且当,
时,
,即
所以当时,
取得最大值
,
所以,实数
的最小值为
.
(2)因为,所以
,即
.
因为,所以
,
.
所以,
,
.
所以当,
时,
,
.
假设存在,
,
,
,…成等差数列,公差为
.
则,
(ⅰ)若,则当
,
时,
,
而,
,所以
与题意矛盾.
(ⅱ)若,则当
,
时,
与
题意矛盾.
所以不存在,使得无穷数列
,
,
,…成公差不为0的等差数列.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市为了了解该市教师年龄分布情况,对年龄在内的5000名教师进行了抽样统计,根据分层抽样的结果,统计员制作了如下的统计表格:
年龄区间 | ||||
教师人数 | 2000 | 1300 | ||
样本人数 | 130 |
由于不小心,表格中部分数据被污染,看不清了,统计员只记得年龄在的样本人数比年龄在
的样本人数多10,根据以上信息回答下列问题:
(1)求该市年龄在的教师人数;
(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图,并求该市教师年龄的平均数及方差
(同一组的数据用该组区间的中点值作代表).