Question

【题目】如图，曲线由左半椭圆和圆在轴右侧的部分连接而成， ， 是与的公共点，点， （均异于点， ）分别是， 上的动点．

（Ⅰ）若的最大值为，求半椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线过点，且， ，求半椭圆的离心率．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：(1)由题意可知，当为半椭圆与轴的左交点， 为圆与轴的右交点时， 会取得最大值，（2）设直线方程与圆组方程组，由韦达用k表示出Q点坐标，由，用k表示P点坐标，再由代入向量坐标运算，可求得斜率k及P点坐标，可得椭圆方程及离心率。

试题解析;（Ⅰ）由已知得：当为半椭圆与轴的左交点， 为圆与轴的右交点时， 会取得最大值，即，解得，由图像可得，即，故半椭圆的方程为．

（Ⅱ）设直线方程为， ， ，联立

得，故， ， ，又，

且， ，故， ， ，

又，且， ，

，

解得，故，代入解得，故．