题目内容
13.已知关于x的不等式x2-ax-4>0在x∈[-2,1]时无解,则实数a的取值范围是[-3,0].分析 【解法一】讨论x=0、-2≤x<0以及0<x≤1时,不等式不成立对应a的取值范围,求出它们的公共部分即可.
【解法二】根据题意,设f(x)=x2-ax-4,对应不等式在x∈[-2,1]时无解时满足$\left\{\begin{array}{l}{f(-2)≤0}\\{f(1)≤0}\end{array}\right.$,求出不等式组a的解集即可.
解答 解:【解法一】根据题意,得;
当x=0时,不等式为-4>0不成立,此时a∈R;
当-2≤x<0时,不等式化为ax<x2-4,
即a>x-$\frac{4}{x}$,
设f(x)=x-$\frac{4}{x}$,(-2≤x<0);
∴f′(x)=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$>0,
f(x)是单调增函数,
f(x)min=f(-2)=0,
不等式不成立时应满足a≤0;
当0<x≤1时,不等式化为ax<x2-4,
a<x-$\frac{4}{x}$,
设g(x)=x-$\frac{4}{x}$,(0<x≤1),
∴g′(x)=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$>0,
g(x)是单调增函数,g(x)max=g(1)=-3,
不等式不成立时应满足a≥0;
综上,实数a的取值范围是[-3,0].
【解法二】根据题意,设f(x)=x2-ax-4,对应不等式在x∈[-2,1]时无解时,
应满足$\left\{\begin{array}{l}{f(-2)≤0}\\{f(1)≤0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2a-4≤0}\\{1-a-4≤0}\end{array}\right.$,
解得-3≤a≤0;
∴a的取值范围是[-3,0].
故答案为:[-3,0].
点评 本题考查了不等式恒成立的问题,也考查了二次函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.
A. | $\frac{1}{7}$ | B. | $\frac{2}{7}$ | C. | $\frac{4}{7}$ | D. | $\frac{5}{7}$ |
A. | 42 | B. | 56 | C. | 72 | D. | 90 |
A. | -ln(-x)+1 | B. | ln(-x)+1 | C. | -ln(-x)-1 | D. | ln(-x)-1 |