题目内容

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(1)若点P在底面ABC内的射影是点O,试指出点O的位置,并说明理由;
(2)求证:平面ABC⊥平面APC;
(3)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
分析:(1)先判断AB⊥BC,再根据PA=PB=PC,即可得到结论;
(2)利用线面垂直,可得面面垂直;
(3)取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F,则∠APF就是PA与平面PBC所成的角,由此可得结论.
(2)利用线面垂直,可得面面垂直;
(3)取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F,则∠APF就是PA与平面PBC所成的角,由此可得结论.
解答:(1)解:∵AC=4,AB=BC=2
,∴AC2=AB2+BC2,∴AB⊥BC

∵PA=PB=PC,∴点P在底面ABC内的射影O,满足OA=OB=OC
∴O是AC的中点;
(2)证明:由(1)知,PO⊥平面ABC.
∵PO?平面APC,
∴平面ABC⊥平面APC;
(3)解:取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F,则∠APF就是PA与平面PBC所成的角
∵PB=PC=4,BC=2
,又BE=CE,∴BE⊥PE,BE=
,
∴由勾股定理,有PE=
.
∴S△PBC=
BC×PE=
×2
×
=2
.
∴VA-PBC=
S△PBC×AF=
AF.
∵PA=PC=AC=4,∴S△PAC=
AC×PD=4
.
∵BD⊥平面PAC,∴VB-PAC=
S△PAC×BD=
.
∵VA-PBC=VB-PAC,∴
AF=
,∴AF=
.
∴sin∠APF=
=
=
.
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为
.
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∵PA=PB=PC,∴点P在底面ABC内的射影O,满足OA=OB=OC
∴O是AC的中点;
(2)证明:由(1)知,PO⊥平面ABC.
∵PO?平面APC,
∴平面ABC⊥平面APC;
(3)解:取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F,则∠APF就是PA与平面PBC所成的角
∵PB=PC=4,BC=2
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2 |
∴由勾股定理,有PE=
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∴S△PBC=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
14 |
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∴VA-PBC=
1 |
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2
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3 |
∵PA=PC=AC=4,∴S△PAC=
1 |
2 |
3 |
∵BD⊥平面PAC,∴VB-PAC=
1 |
3 |
8
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3 |
∵VA-PBC=VB-PAC,∴
2
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3 |
8
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3 |
4
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∴sin∠APF=
AF |
PA |
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4 |
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∴PA与平面PBC所成角的正弦值为
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点评:本题考查线面垂直,考查面面垂直,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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