题目内容
【题目】莱昂哈德·欧拉
，瑞士数学家、自然科学家.
岁时入读巴塞尔大学，
岁大学毕业，
岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式
，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的
取作
就得到了欧拉恒等式
，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对数的底数
，圆周率；两个单位：虚数单位
和自然数单位
；以及被称为人类伟大发现之一的
，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
（1）试将复数
写成
（
、
，是虚数单位）的形式；
（2）试求复数
的模.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根据欧拉公式可将复数
表示为一般形式；
（2）根据欧拉公式将复数
表示为一般形式，利用复数的模长公式可求得该复数的模.
（1）根据欧拉公式可得
；
（2）由题意可知
，因此，
.
【题目】艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒
病毒
引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能
下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
感染者人数 |
|
|
|
|
|
|
| 85 |
请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；
请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系；
建立y关于x的回归方程
系数精确到
，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．
参考数据：
；
，
，
，
参考公式：相关系数
，
回归方程
中，
，
．
【题目】某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.
表1，设备改造后样本的频数分布表:
质量指标值 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 2 | 18 | 48 | 14 | 16 | 2 |
（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；
（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X得分布列和数学期望.
