题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过点
作两条直线，分别交椭圆于
，
两点（异于
点）.当直线
，
的斜率之和为定值
时，直线
是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】
（I）根据椭圆的离心率和短轴长列方程组，解方程组求得
的值，进而求得椭圆方程.（II）当直线
的斜率存在时，设出直线的方程
，根据
化简得到表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，并代入上面求得的表达式，化简后可求得
的关系式，带回直线的方程，由此求得直线所过定点.当直线斜率不存在时，设直线的方程为
，利用
，求出
的值，由此判断此时直线所过定点.
（Ⅰ）由题意知：
，
，
.
解得
，
，
，所以椭圆方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程为
，
，
由，得
，整理得
联立
，消去
得
，由题意知二次方程有两个不等实根.
∴
，
，
代入
得
.
整理得
.
∵
，∴
，∴
，即
.
所以直线过定点
.
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
，
，其中
.
∴ 
，由，得
，∴
.
∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.
综上所述，直线恒过定点.
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