Question

【题目】如图,是正方形ABCD的外接圆,点P在劣弧AB上(P不与A、B重合),DP分别交AO、AB于点Q、T, 在点P处的切线交DA的延长线于点E,劣弧BC的中点为F.

(1)问:何时F、T、E三点共线?请说明理由.

(2)求比值的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图，不妨设正方形的边长为1，记.则

.

设直线FO交AD于点K.则

.

又EP 切于P，由弦切角定理得

.

因为∠DPA=∠DBA=45°，所以

,

.

由正弦定理得

，

.

设直线FT交直线DA于点G.

由得,则.

故.

下面证明：，从而与不重合，即F、T、E三点不可能共线.

（由的取值知）

上式显然成立.

故三点不可能共线.

（2）由正弦定理得

，

，

及，

即.于是，

.

显然，和.

均为大于0的严格递增函数，因此，是关于变量的大于0的严格递增函数，所以，的值域是.