题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
，
，
，
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
是棱
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理，可证得
平面
，进而证得
，利用勾股定理，可证得
，利用线面垂直的判定定理，可证得
平面
，证得结果；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量，求得线面角的正弦值，得到结果.
（Ⅰ）证明：∵在三棱柱
中，
，
，又
，
∴平面，又
平面，∴，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴，
又
，∴平面.
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，直线
，
，
两两互相垂直，如图，以
为原点，分别以，，所在直线为
，
，
轴，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，所以，
，
取
，则
，
又
，设直线
与平面所成角为
，
则
.
∴直线平面所成角的正弦值.
解法二：由（Ⅰ）知，直线，，两两互相垂直，以
为原点，分别以
、
、
所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，，
设平面的法向量，
则，所以，，
取，则，
又，设直线与平面所成角为，
则 .
∴直线平面所成角的正弦值.
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