题目内容

(本小题满分14分)若为常
数,且
(Ⅰ)求对所有实数成立的充要条件(用表示);
(Ⅱ)设为两实数,,若
求证:在区间上的单调增区间的长度和为(闭区间的长度定义为).
解:(Ⅰ)恒成立
;
(*)
因为,
所以,故只需(*)恒成立.
综上所述,对所有实数成立的充要条件是.   ………4分 
(Ⅱ)1°如果,则的图象关于直线对称.因为,所以区间关于直线 对称.
因为减区间为,增区间为,所以单调增区间的长度和为.   ………6分
2°如果.
(1)当时.
因为,所以,故=.
因为,所以,故=.
因为,所以,所以
.
时,令,则,所以
时,,所以=;
时,,所以=.
在区间上的单调增区间的长度和
=.                        …………10分
(2)当时.
因为,所以,故=.
因为,所以,故=.
因为,所以,所以.
时,令,则,所以
时, ,所以=;
时,,所以=;
在区间上的单调增区间的长度和
=.
综上得在区间上的单调增区间的长度和为.        …………14分
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