Question

（本小题满分14分）若，，，为常
数，且
（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；
（Ⅱ）设为两实数，且,若
求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．

Answer 1

解：（Ⅰ）恒成立
;
（*）
因为,
所以，故只需（*）恒成立.
综上所述，对所有实数成立的充要条件是.   ………4分 
（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称．
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为.   ………6分
2°如果.
（1）当时.，
当，因为，所以，故=.
当，因为，所以，故=.
因为，所以，所以即
.
当时，令，则，所以，
当时，，所以=;
时，，所以=.
在区间上的单调增区间的长度和
=.                        …………10分
（2）当时.，
当，因为，所以，故=.
当，因为，所以，故=.
因为，所以，所以.
当时，令，则，所以，
当时， ，所以=;
时，，所以=;
在区间上的单调增区间的长度和
=.
综上得在区间上的单调增区间的长度和为.        …………14分

略